L'inégalité suivante ne devrait dérouter personne (et on l'a d'ailleurs déjà utilisée sans le mentionner précédemment).
Lemme
Pour tout $a \in \mathbb{R}$, on a
\[ a^2 \geq 0 \] avec égalité si et seulement si $a = 0$.
Bien qu'elle soit évidente, elle est une arme redoutable et peut résoudre beaucoup de problèmes si elle est bien utilisée. La difficulté réside généralement dans la factorisation des expressions pour se ramener à une somme de carrés parfaits.
Nous verrons par la suite différentes inégalités remarquables qui pourront être utilisées dans la résolution de problèmes. L'ingrédient essentiel à la démonstration de ces inégalités sera en fait à chaque fois l'inégalité $a^2 \geq 0$.