Une nouvelle fois, si le domaine de définition de $f$ est $\mathbb{Q}$, nous avons la même description des solutions.
Il suffit encore une fois de prouver que $f(x)=f(1)\cdot x$ pour tout $x \in \mathbb{Q}$. Par la preuve précédente, on a déjà $f(x)=f(1)\cdot x$ pour tout $x \in \mathbb{Z}$.
Prouvons maintenant par récurrence sur $n$ que $f(nx)=nf(x)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et pour tout $x \in \mathbb{Q}$ :
- Cas de base : nous savons déjà que $f(0\cdot x)=0$ quel que soit $x \in \mathbb{Q}$.
- Pas récurrent : Supposons que $f(nx)=nf(x)$ pour tout $x \in \mathbb{Q}$ et pour un certain $n \in \mathbb{N}$ et prouvons que $f((n+1)x)=(n+1)f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{Q}$. Pour ce faire, il suffit de calculer
$$f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=nf(x)+f(x)=(n+1)f(x).$$
Nous pouvons maintenant prouver que $f(x)=f(1)\cdot x$ pour tout $x \in \mathbb{Q}$. En effet, soit $x \in \mathbb{Q}$. Par définition de $\mathbb{Q}$, $x$ peut s'écrire comme $\displaystyle x=\frac{z}{n}$ pour un $z \in \mathbb{Z}$ et un $n \in \mathbb{N}_0$. Dès lors,
$$f(1)\cdot z=f(z)=f\left(\frac{z}{n}n\right)=nf\left(\frac{z}{n}\right)=nf(x),$$ et on a $\displaystyle f(x)=f(1)\cdot \frac{z}{n}=f(1)\cdot x$ comme espéré.
À nouveau, si $f : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ satisfait l'équation de Cauchy, nous pouvons aussi dire que $f(x)=ax$ pour un certain $a \in \mathbb{Q}$.