En pratique
L'équation de Cauchy est intéressante d'un point de vue théorique, mais les raisonnements que nous avons utilisés dans ce chapitre peuvent en fait être utilisés pour résoudre d'autres équations fonctionnelles.
En effet, lorsqu'on est en présence d'une équation avec $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, il arrive parfois que l'on parvienne à trouver la valeur de $f(2)$ en fonction de $f(1)$, puis la valeur de $f(3)$ en fonction de $f(1)$, etc. Il est alors souvent possible d'en déduire par récurrence la valeur de $f(n)$ en fonction de $f(1)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, comme nous l'avons fait pour l'équation de Cauchy. Dans un tel contexte, il peut donc être une bonne idée d'appliquer le même raisonnement que celui que nous avons donné pour résoudre l'équation de Cauchy. L'étape suivante est donc d'essayer de montrer que $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$, ce qui permet de trouver la valeur de $f(z)$ pour $z \in \mathbb{Z}$. On peut ensuite chercher à montrer que $f(nx) = n f(x)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $x$, ce qui pourrait nous donner $f(q)$ pour tout $q \in \mathbb{Q}$.
À ce stade, on a généralement le sentiment d'avoir résolu l'équation puisqu'on a trouvé la valeur de $f$ en chaque nombre rationnel. Comme nous l'avons vu dans le cadre de l'équation de Cauchy, il n'est cependant pas aisé (voire même parfois impossible) d'en déduire que la formule trouvée pour les rationnels est également vraie pour les nombres réels. Pour pouvoir ainsi passer des rationnels aux réels, il faut comme pour l'équation de Cauchy que $f$ soit continue ou monotone. Nous ne donnons pas ici de théorème général permettant de passer de $\mathbb{Q}$ à $\mathbb{R}$, mais l'idée est que, si $f$ est continue ou monotone, alors toute formule "raisonnable" trouvée pour $f$ sur $\mathbb{Q}$ est également valable sur $\mathbb{R}$. En fait, la continuité et la monotonie empêchent $f$ de ne pas respecter la formule en un nombre réel. Cela vient du fait que $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$, ce qui signifie que tout élément de $\mathbb{R}$ peut être approché par une suite de nombres rationnels.
On peut donc pour conclure tenter de montrer que $f$ est continue ou monotone. À moins que la continuité ou la monotonie ne soit donnée dans l'énoncé, il est en pratique assez compliqué de le prouver à partir de l'équation fonctionnelle. Il vaut généralement mieux tenter de continuer à trouver de nouvelles relations intéressantes à partir de l'équation fonctionnelle, et de les combiner avec les résultats sur les nombres rationnels pour conclure. Cela n'est pas possible pour l'équation de Cauchy, mais les équations fonctionnelles d'olympiades sont en général bien plus "fournies", en ce sens que l'on a généralement pas encore utilisé toutes les informations données par l'équation lorsqu'on a trouvé les valeurs sur les nombres rationnels.
Si cela ne semble pas fonctionner et si on a de bonnes raisons de croire qu'il est possible de prouver la monotonie (par exemple en utilisant $f(x)^2 \geq 0$ ou si l'équation est en fait une inéquation) alors on peut tout de même essayer de la prouver. La continuité est quant à elle assez rarement démontrable.