Techniques élémentaires de preuves

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Points théoriques

Preuve directe Preuve par contraposition Preuve par l'absurde Preuve par récurrence

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Exercice 4

Résolu 2654 fois 22% au 1^er essai

Un énoncé demande de prouver que si $P(n)$ est vrai pour tout $n \in \mathbb N$, alors $Q(n)$ est également vrai pour tout $n \in \mathbb N$. Lesquelles des méthodes suivantes, si elles fonctionnent, permettent de prouver cet énoncé ?

Cochez chaque proposition correcte.

Montrer que $P(n) \Rightarrow Q(n)$ pour tout $n \in \mathbb N$

Supposer qu'il existe $n \in \mathbb N$ tel que $Q(n)$ est faux et montrer qu'il existe $m \in \mathbb N$ tel que $P(m)$ est faux

Montrer que $Q(0)$ est vrai et prouver que $(P(n) \text{ et } Q(n)) \Rightarrow Q(n+1)$ pour tout $n \in \mathbb N$

Supposer que $P(n)$ est vrai pour tout $n \in \mathbb N$ et $Q(n)$ est faux pour tout $n \in \mathbb N$ et trouver une contradiction

Montrer que $Q(0)$ est vrai, puis supposer qu'il existe $n \in \mathbb N$ tel que $P(n)$ est vrai mais $Q(n)$ et $Q(n+1)$ sont faux et trouver une contradiction

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Exercice 4