Conseils généraux
Rédiger une solution à un problème est une étape essentielle dans la résolution de celui-ci. Avoir une idée de la solution dans votre tête est une chose, mais c'est en la rédigeant que vous pourrez partager votre savoir, le faire vérifier, et recevoir des commentaires. Une bonne rédaction est primordiale pour transmettre ses idées de la façon la plus efficace possible. Au contraire, une mauvaise rédaction peut rendre votre solution illisible, ou même complètement fausse !
Votre ami imaginaire
Rappelons tout d'abord qu'une preuve est un raisonnement par lequel on établit qu'une proposition est vraie. Pour qu'une preuve soit bonne, il est nécessaire que n'importe qui (ayant les prérequis mathématiques nécessaires) puisse la comprendre sans avoir aucun doute sur sa véracité. Il s'agit donc d'enchaîner des arguments les uns à la suite des autres, chaque argument devant être communément accepté comme évident.
Pour savoir si la preuve que vous écrivez est bonne, vous pouvez essayer de vous mettre à la place de quelqu'un ayant les mêmes connaissances mathématiques que vous et qui découvrirait votre preuve pour la première fois. Cette personne fictive vient de découvrir le résultat que vous cherchez à démontrer, n'a même aucune idée de si ce résultat est vrai ou non, et la preuve qu'il s'apprête à lire doit le convaincre à $100\%$ que ce résultat est bien vrai. Cette personne est d'un naturel sceptique et tient à ce que tout soit très clairement justifié pour être pleinement convaincue. Elle est aussi pressée et ne tient pas à devoir réfléchir trois minutes à chaque argument pour comprendre comment il s'applique. Il faut donc que tout coule de source !
Notez bien que votre ami imaginaire ne lit pas dans vos pensées ! De votre côté, vous avez passé du temps à réfléchir au problème et aux concepts qui l'entourent, donc certaines choses vous paraissent évidentes alors qu'elles ne le sont pas pour quelqu'un qui vient juste de lire l'énoncé. Vous devez donc écrire tout ce qui aidera votre ami à mieux comprendre votre solution. Pensez à tout ce que vous auriez aimé qu'on vous explique et qu'on vous détaille lorsque vous avez découvert le problème, quand vous n'aviez aucune idée de comment le résoudre.
Appliquez ce conseil même lorsque vous savez que la personne qui va réellement lire votre preuve connaît déjà le résultat et sait comment il se prouve. Par exemple, sur Mathraining, les correcteurs savent déjà que les énoncés sont corrects et ont eux-mêmes écrit une solution au problème par le passé. Mais vous ne devez pas écrire votre solution pour convaincre le correcteur : vous devez l'écrire pour convaincre toute personne qui verrait le problème et votre solution pour la première fois. Les étudiants commettent souvent l'erreur de se dire que les correcteurs savent déjà ce dont on parle et ce qu'on cherche à faire, et se permettent de ne donner quasi aucune explication, mais ce n'est pas cela qui est attendu de vous. (Il est d'ailleurs toujours possible que l'approche que vous aurez choisie pour résoudre un problème soit très différente de celle utilisée par les autres étudiants).
Bien structurer votre solution
Avant de rédiger votre solution, il faut qu'elle soit la plus claire possible dans votre esprit. Vous devriez idéalement faire un plan de celle-ci, en énumérant les grandes étapes qui la constituent. Si vous ne le faites pas sur papier, passez au moins quelques secondes à réfléchir aux étapes clefs de votre solution et à l'ordre dans lequel vous allez les présenter lors de votre rédaction. Choisissez l'ordre qui vous semble le plus intuitif.
Rédigez ensuite chaque étape dans un paragraphe différent, de façon à ce que le lecteur puisse clairement identifier la structure de votre solution. Si vous avez beaucoup d'étapes, vous pouvez même penser à les numéroter. De cette façon vous pourrez plus facilement faire référence à un résultat ou un argument donné précédemment dans votre preuve. À chaque étape, mettez en évidence le ou les résultats intermédiaires importants qui vous seront utiles par la suite. Le lecteur ne va probablement pas faire l'effort de retenir par coeur l'entièreté de vos arguments et de vos égalités intermédiaires : c'est pourquoi vous devez l'aider un maximum en identifiant ce qu'il est important de retenir de chaque paragraphe.
Pour une solution plutôt longue, pensez à écrire une conclusion et/ou une introduction pour résumer ce que vous avez fait ou présenter ce que vous allez faire.
Relisez-vous !
Probablement le point le plus important : lorsque vous avez terminé d'écrire votre solution, relisez-là ! Bien entendu pour corriger les éventuelles fautes de frappe, mais surtout pour vérifier que vous n'avez rien oublié et que tous les arguments s'enchaînent sans problème. Lorsque vous débutez, une bonne idée est même de laisser votre solution reposer une journée et de venir la relire le lendemain, avec un regard neuf. Vous aurez alors oublié tout ce que vous aviez en tête au moment d'écrire votre solution, et votre état d'esprit sera beaucoup plus proche de celui d'un correcteur qui découvrirait votre solution. Vous serez donc plus à-même de repérer les étapes insuffisamment justifiées ou qui ne sont pas faciles à comprendre.
Sur Mathraining, une fois un problème résolu, vous aurez aussi la possibilité de lire les solutions d'autres élèves à ce problème, en particulier les solutions étoilées. Ces solutions sont mises en évidence car elles présentent différentes façons d'aborder le problème, mais aussi parce qu'elles sont bien rédigées. Si les correcteurs vous reprochent de ne pas avoir une bonne rédaction, alors pensez à regarder les solutions étoilées et à voir ce qui les différencie de votre solution pour comprendre les points sur lesquels vous pourriez vous améliorer.