Voici un troisième problème ainsi qu'une solution mal rédigée à celui-ci. À nouveau, notre but est de montrer tout ce qui peut être amélioré dans cette solution.
Nous allons montrer que la réponse est
90, en montrant d'abord qu'il existe un sous-ensemble de
S à
90 éléments ne contenant aucune paire de nombres similaires, puis en montrant qu'un sous-ensemble de
S avec au moins
91 éléments contient forcément deux nombres similaires.
- Considérons le sous-ensemble X de S défini par
X={¯abc : 1≤a≤90≤b,c≤910∣a+b+c} où ¯abc est le nombre ayant a,b,c pour chiffres dans le système décimal.
On a |X|=90, puisque pour chaque chiffre a≠0 et chaque chiffre b, il y a exactement un chiffre c tel que a+b+c est multiple de 10.
Montrons maintenant que deux nombres différents dans X ne sont jamais similaires. Supposons par l'absurde qu'il existe deux nombres différents similaires ¯abc et ¯def dans X. Cela signifie qu'exactement deux des trois égalités a=d, b=e et c=f sont vérifiées. Cela implique en particulier que
a+b+c≠d+e+f et
|(a+b+c)−(d+e+f)|≤9, ce qui est impossible car a+b+c et d+e+f sont tous les deux multiples de 10 par définition de X.
- Considérons un sous-ensemble Y de S avec |Y|≥91 et montrons qu'il contient forcément deux nombres similaires. Définissons les 90 sous-ensembles S10,S11,…,S99 de S par
Si={10⋅i+j∣0≤j≤9} pour tout i∈{10,11,…,99}. On a S=S10∪S11∪…∪S99. Par le principe des tiroirs, il existe deux éléments de Y se trouvant dans le même ensemble Si. Ces deux nombres ont donc le même chiffre des centaines et le même chiffre des dizaines : ils sont similaires.