Une preuve, aussi mathématique soit elle, est avant tout un texte qui doit idéalement pouvoir être lu comme un roman. Lorsqu'on rédige une démonstration, on est évidemment vite amené à devoir écrire des équations (ou d'autres formules mathématiques). Pour autant, toutes ces parties plus mathématiques doivent être entourées d'un texte clair expliquant le contexte dans lequel on se trouve, ce que chaque équation signifie, comment plusieurs équations s'enchainent entre elles, etc.
Afin d'illustrer cela, regardons le problème suivant et quelques exemples de solutions.
Solution 1 (mauvaise)
$$a^3 + b^3 + c^3 + 28 > 2a^2 + 4b^2 + 6c^2$$ $$a^3 - 2a^2 + b^3 - 4b^2 + c^3 - 6c^2 + 28 > 0$$ $$a^3 - 2a^2 + b^3 - 4b^2 + c^3 - 6c^2 + a + 4b + 9c > 0$$ $$a(a^2 - 2a + 1) + b(b^2-4b+4) + c(c^2-6c+9) > 0$$ $$a(a-1)^2 + b(b-2)^2 + c(c-3)^2 > 0$$
Cette solution ne contient que des équations : absolument aucun texte ni même aucun symbole entre les équations pour expliquer ce qui les relie ! Certains passages, par exemple celui de la première à la deuxième ligne, sont relativement clairs, mais même dans ce cas-là il est important de relier les deux lignes au moins par un $\Leftrightarrow$ pour indiquer qu'elles sont équivalentes. Certains étudiants vont alors plutôt écrire la solution suivante :
Solution 2 (mauvaise)
$$\begin{align}
& a^3 + b^3 + c^3 + 28 > 2a^2 + 4b^2 + 6c^2 \\
\Leftrightarrow\ & a^3 - 2a^2 + b^3 - 4b^2 + c^3 - 6c^2 + 28 > 0 \\
\Leftrightarrow\ & a^3 - 2a^2 + b^3 - 4b^2 + c^3 - 6c^2 + a + 4b + 9c > 0 \\
\Leftrightarrow\ & a(a^2 - 2a + 1) + b(b^2-4b+4) + c(c^2-6c+9) > 0 \\
\Leftrightarrow\ & a(a-1)^2 + b(b-2)^2 + c(c-3)^2 > 0 \\
\end{align}$$
"On m'a demandé de mettre des liens entre mes différentes lignes donc j'écris des $\Leftrightarrow$ partout et c'est gagné". Attention ! Le symbole $\Leftrightarrow$ a une signification exacte, ce n'est pas juste un signe de ponctuation ! Il signifie "si et seulement si" et ne peut dès lors être utilisé qu'entre deux équations qui sont strictement équivalentes.
La première et la deuxième ligne de notre solution sont bien équivalentes, car on a juste passé certains termes de droite à gauche. Par contre, il n'y a pas d'équivalence entre la deuxième et la troisième ligne ! Si la troisième ligne est vraie alors la deuxième ligne le sera aussi, car $28 \geq a + 4b + 9c$, mais le contraire est faux : il se pourrait très bien que la deuxième ligne soit vraie alors que la troisième est fausse. On pourrait donc théoriquement écrire $\Leftarrow$ à la place de $\Leftrightarrow$ entre ces deux lignes, mais en pratique on ne le fait presque jamais. On préférera plutôt écrire du texte en français pour expliquer le passage en question.
Par ailleurs, certains passages de cette solution sont loin d'être évidents, notamment le passage de la deuxième à la troisième ligne dont on vient de parler. Il faut absolument apporter des explications supplémentaires ici, car aucun lecteur découvrant cette solution pour la première fois ne va comprendre pourquoi $28$ peut être soudainement remplacé par $a+4b+9c$. La conclusion n'est pas claire du tout non plus : pourquoi la dernière inégalité est-elle toujours vraie ?
Solution 3 (bonne)
Nous cherchons à montrer que
$$\begin{align}
& a^3 + b^3 + c^3 + 28 > 2a^2 + 4b^2 + 6c^2\\
\Leftrightarrow\ & a^3 - 2a^2 + b^3 - 4b^2 + c^3 - 6c^2 + 28 > 0\\
\end{align}$$ Vu que $a, b, c \leq 2$, on a $a+4b+9c \leq 2 + 8 + 18 = 28$ et donc il suffit de montrer que
$$\begin{align}
&a^3 - 2a^2 + b^3 - 4b^2 + c^3 - 6c^2 + a + 4b + 9c > 0\\
\Leftrightarrow\ & a(a^2 - 2a + 1) + b(b^2-4b+4) + c(c^2-6c+9) > 0\\
\Leftrightarrow\ & a(a-1)^2 + b(b-2)^2 + c(c-3)^2 > 0\\
\end{align}$$ Cette dernière inégalité est bien vraie. En effet, vu que $a, b, c > 0$, et comme un carré est toujours positif, le membre de gauche est toujours positif. Par ailleurs, il est même toujours strictement positif car le terme $c(c-3)^2$ est strictement positif : on a $c > 0$ par hypothèse et $(c-3)^2 > 0$ car $c \neq 3$.
Cette troisième solution est parfaite : les $\Leftrightarrow$ ne sont utilisés qu'entre deux lignes strictement équivalentes et des explications sont apportées à chaque passage délicat.
Nous montrons un dernier exemple de solution à ce problème, que certains pourraient être tentés d'écrire mais que nous déconseillons fortement :
Solution 4 (bonne mais déconseillée)
$$\begin{array}{lll}
& a(a-1)^2 + b(b-2)^2 + c(c-3)^2 > 0 & \text{ car $a, b, c > 0$ et $c \neq 3$}\\
\Leftrightarrow & a(a^2 - 2a + 1) + b(b^2-4b+4) + c(c^2-6c+9) > 0& \\
\Leftrightarrow & a^3 - 2a^2 + b^3 - 4b^2 + c^3 - 6c^2 + a + 4b + 9c > 0& \\
\Rightarrow & a^3 - 2a^2 + b^3 - 4b^2 + c^3 - 6c^2 + 28 > 0 & \text{ car $28 \geq a+4b+9c$, car $a, b, c \leq 2$}\\
\Leftrightarrow & a^3 + b^3 + c^3 + 28 > 2a^2 + 4b^2 + 6c^2& \\
\end{array}$$
Cette solution est bien rigoureuse : elle utilise $\Rightarrow$ au lieu de $\Leftrightarrow$ au bon endroit, et elle donne des explications (relativement brèves) aux passages clefs. Par contre, en inversant ainsi l'ordre des inégalités pour partir de quelque chose de vrai et arriver à l'inégalité voulue, on a totalement perdu l'intuition ! De notre côté c'est la quatrième solution que l'on voit à ce problème, donc tout nous paraît très clair, mais n'oublions pas de nous mettre dans la peau de quelqu'un qui découvrirait cette solution-ci pour la première fois.
La première ligne $a(a-1)^2 + b(b-2)^2 + c(c-3)^2 > 0$ est certes vraie mais elle sort complètement de nulle part, avec a priori aucun rapport avec l'énoncé du problème. Un nouveau lecteur se poserait certainement la question de savoir s'il s'agit d'une réécriture de l'inégalité de l'énoncé, avant de finalement comprendre que la solution a été écrite "à l'envers". Cela peut être amusant de vouloir surprendre le lecteur en transformant une inégalité vraie jusqu'à tomber sur l'inégalité de l'énoncé, mais en général il vaut mieux essayer de garder le lecteur "avec soi", c'est-à-dire qu'il comprenne tout le long de la solution ce qu'on est en train de faire, pourquoi on est en train de le faire et où on veut arriver.